Böjning är en typ av deformation där det finns en krökning av axlarna för raka balkar eller en förändring i krökningen av krökta balkars axlar. Böjning är förknippad med utseendet av böjmoment i stångens tvärsnitt. En rak böj uppstår när ... ... Wikipedia

Böja- - deformation av delen i riktningen vinkelrät mot dess axel. [Bloom E. E. Ordbok över grundläggande metallografiska termer. Yekaterinburg 2002] Böjning är en deformation som uppstår i balkar, golvplattor, omslutande strukturer under ... ... Uppslagsverk över termer, definitioner och förklaringar av byggmaterial

Bars, ett deformerat tillstånd som uppstår i en stång under inverkan av krafter och moment vinkelrätt mot dess axel, och åtföljs av dess krökning (om I.-plattan och skalet (se PLATA, SKAL)). Uppstår vid I. i tvärsnittet av en stång ... Fysisk uppslagsverk

BÖJA, böja, make. 1. Bågformig krökning, rundad fraktur, intrikat sväng. Vid flodens krök. Den vackra kurvan på svanens hals. Böjer i vägen. "Deras (tall) rötter låg i invecklade krökar som döda grå ormar." Maksim Gorkij. 2. överföra ... Ordbok Ushakova

böja- KINK, twist, twist, twist, kink, vriden, serpentin, vridning, strålande, loopad ... Ordbok-tesaurus av synonymer för ryskt tal

I motståndet hos material, en typ av deformation som kännetecknas av krökning (förändring i krökning) av axeln eller mittytan av ett element (balk, platta, etc.) under inverkan av en extern belastning. Det finns böjar: rena, tvärgående, längsgående, ... ... Stor encyklopedisk ordbok

BEND, ah, make. Bågformig krökning. I. floder. Själens böjningar (övers.). Ozhegovs förklarande ordbok. SI. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992 ... Ozhegovs förklarande ordbok

Det stressade tillståndet hos en stång eller stång, åtföljd av en krökning jämfört med dess ursprungliga form. Skilj mellan tvärgående I., som uppstår under inverkan av belastningar riktade i de flesta fall vinkelrätt mot stavens axel, och ... ... Teknisk järnvägsordbok

böja- Typen av kroppsdeformation, uttryckt i en förändring i dess krökning i en eller flera riktningar [Terminologisk ordbok för konstruktion på 12 språk (VNIIIS Gosstroy USSR)] EN böjningsflexur DE Biegung FR flexion ... Teknisk översättarguide

BÖJA- den typ (se), i vilken axeln eller mittytan av balken, stången, plattan böjs under inverkan av yttre krafter eller temperatur. De yttre skikten på den konvexa sidan av det deformerade föremålet upplever den största spänningen. Deformation av balken vid ... Big Polytechnic Encyclopedia

Böcker

• Torsion och böjning av tunnväggiga flygplanskonstruktioner, A.A. Umansky Vridning och böjning av tunnväggiga flygplanskonstruktioner Återges i den ursprungliga författarens stavning av 1939 års upplaga (Oboronprom förlag) ...
• Spänning. Torsion, A. N. Dinnik. Akademikern A. N. Dinniks verk "Buckling. Torsion" publicerade i denna volym, som är en handbok för ingenjörer, är nu en bibliografisk sällsynthet. Detta…

krökning, flodkurvatur

Alternativa beskrivningar

Sadelböj

Mansnamn (lat.Luminiferous)

Böj i floden

Karaktären i pjäsen "At the Bottom"

Böj av stranden

... "Krivulya" vid floden

... Hästsadel tå

Sadelklack

Hjälte i pjäsen "At the Bottom"

Hjälte, "på botten"

Böjd sadelklack

Bågformad krök av floden

Evangelist

J. böja, förgås, krökning, böja; flodsväng, båge; lågt liggande och gräsbevuxen eller trädbevuxen udde; en dräneringsäng, kantad av en flod. Ibland tas löken tillbaka, i betydelsen en vik, ett bakvatten, ett bakvatten, eller så är det en novoros. gräsbevuxen hålighet, äng. Det finns två sadelbågar, en fram och en bak. Motri, värm löken, frys inte! reta tösen. Kyrka. svek, själens krökning. Flodens båge, liksom knäet, armbågen, sägs ibland istället för pleso, det vill säga inte en krök, utan en rak kanal mellan krökarna. Flodens båge (båge), båge, korg (böjd, böjd), båge (böjd, det vill säga kastande pilar), båge, etc. av den gemensamma roten. Båge m. Lök, remsa böjd till en båge; en elastisk remsa, trä, kåt, stål, spänd med en bågsträng, för att skjuta pilar. Pilbåge med rumpa, armborst; en båge med dubbel bågsträng, för att kasta lerkulor, baracker. Pilbågen är vänd, tråkig, en slags båge, med vilken skalen vänds fram och tillbaka. En sågbåge, ett järnverktyg till henne. Fiskebåge, karmak, oud för vit fisk. En ullbåge eller lök, en tre-arshin-stång med ett sto och en pilbåge, som de trycker på, slår ullen, slår den med en katerinka, en klubba. Valv, pilbåge, halvbåge, böj till exempel. på vagnen. Lök på spett, krok, kratta, kratta, kratta för att klippa bröd. Ett nät för att fånga sångfåglar (cachen sprids på två pinnar, en lök på en halvbåge). En anordning i sele för hästuppfödning. Novg. en separat plats för resenärer, på en Tikhvinka-båt, under ett tak lagt i bågar. ryttare soldat ben med rosett. Vem bryr sig, och pilen till bågen. En stram båge, sedan en innerlig vän. Böj den kungen, pilar som budbärare. Pilbågen är bra både till strid och i kålsoppa (lek med ord). Plogen matar, och fören (vapnet) förstör, gammal. om en man, en soldat. Vi använde inte pilbågen, vi gnisslade inte från pilbågen, men för att dricka, för att dansa, kan vi inte hittas mot oss! Bågen är liten, men tight. Som en pil från en båge. Som om man gömmer sig för en båge. Båda bågarna, båda täta. Båge, gamla. mått på mark; till sådden. två fenor,

Flodkrök

Böj av stranden

Böj i floden

Flod eller sadelböj

Kanalböj

Sadelböj

Böj i floden

Den italienska konstnären Signorellis namn

Vilken biblisk karaktärs namn är översatt från latin till "ljus"

Evangeliekollegan Matteus

Kollega till Matthew, Mark och John

Brant slingrande av flodbädden med ändar nära näset

Brant krök i floden

Vilken av evangelisterna avbildas som en kalv

Fredsmästare i pjäsen "Längst ner"

Havsböj

Mans namn

Mansnamn som rimmar på bok

Mansnamn: (latinsk) lysande

En av evangelisterna

Tecken "Längst ner"

Flodens tur

Sadelsväng

Flodens krökning

Rysk sjöman som öppnade havspassagen från norra Dvina till Nordnorge (XIV-talet)

Samara på Volga

Följeslagare till aposteln Paulus

Ett bra namn för en rysk kille

En del av sadeln

Den främsta fredsmäklaren i Gorkijs pjäs "Att botten"

Karaktären i Gorkys pjäs "At the Bottom"

Vandrare i pjäsen "At the Bottom"

Utskjutande böj av fram- eller bakkant av sadeln

Tröstare

Mudischev

Karaktären av pjäsen av A. Tjechov "Björnen"

En karaktär i verk av J. Moliere "The Reluctant Healer"

evangelisternas grekiska

Flodkrök

Böj av flodkanalen

Kustböj

Sadelböj

Sadel squiggle

Böjd sadelkant

Khlopovs namn i "The Inspector General"

Böjd sittläpp

Vad är inte ett namn för en rysk man

Ryskt mansnamn

Mansnamn som rimmar på mjöl

Passa. Ryskt pojkenamn

välvd krök av floden

σ z = E ε z (\ displaystyle \ sigma _ (z) = E \ varepsilon _ (z))

det vill säga att spänningarna också är linjärt fördelade.

I balkens tvärsnitt (i det plana fallet) uppstår ett böjmoment M x (\ displaystil M_ (x)), sidokraft Q y (\ displaystyle Q_ (y)) och längsgående kraft N (\ displaystil N)... En extern fördelad last verkar på sektionen q (\ displaystil q).

Tänk på två intilliggande sektioner som ligger på avstånd d z (\ displaystyle dz) isär. I ett deformerat tillstånd vrids de i vinkel d θ (\ displaystyle d \ theta) i förhållande till varandra. Eftersom de övre lagren sträcks ut och de nedre är sammanpressade är det uppenbart att det finns neutralt lager förblir osträckt. Det är markerat med rött i figuren. Förändringen i krökningen av det neutrala lagret skrivs enligt följande:

1 ρ = d θ d z (\ displaystil (\ frac (1) (\ rho)) = (\ frac (d \ theta) (dz)))

Ökningen i längden av segmentet AB beläget på avstånd y (\ displaystil y) från den neutrala axeln, uttrycks enligt följande:

Δ l = (y + ρ) d θ - ρ d θ = y d θ (\ displaystyle \ Delta l = (y + \ rho) d \ theta - \ rho d \ theta = yd \ theta)

Alltså deformationen:

ε z = Δ ll = yd θ ρ d θ = y ρ (\ displaystyle \ varepsilon _ (z) = (\ frac (\ Delta l) (l)) = (\ frac (yd \ theta) (\ rho d \ theta)) = (\ frac (y) (\ rho)))

Kraftförhållanden

σ z = E ε z = E y ρ (\ displaystyle \ sigma _ (z) = E \ varepsilon _ (z) = E (\ frac (y) (\ rho)))

Låt oss associera spänningen med kraftfaktorerna som uppstår i avsnittet. Axialkraften uttrycks enligt följande:

N = ∫ A. σ z d A = ∫ A. E y ρ d A = E ρ ∫ A. yd A (\ displaystyle N = \ int \ limits _ (A) ^ (\ färg (Vit).) (\ sigma _ (z)) \, dA = \ int \ limits _ (A) ^ (\ färg (Vit). ).) (E (\ frac (y) (\ rho))) \, dA = (\ frac (E) (\ rho)) \ int \ limits _ (A) ^ (\ färg (Vit).) Y \, dA)

Integralen i det sista uttrycket är det statiska momentet för avsnittet om axeln x (\ displaystil x)... Det är vanligt att ta som en axel x (\ displaystil x) sektionens centrala axel, så att

S x = ∫ A. y d A = 0 (\ displaystil S_ (x) = \ int \ limits _ (A) ^ (\ färg (Vit).) y \, dA = 0)

På det här sättet, N = 0 (\ displaystil N = 0)... Böjmomentet uttrycks på följande sätt:

M x = ∫ A. σ z y d A = E ρ ∫ A. y 2 d A = E ρ J x (\ displaystil M_ (x) = \ int \ limits _ (A) ^ (\ färg (Vit).) (\ sigma _ (z) y) \, dA = (\ frac (E) (\ rho)) \ int \ limits _ (A) ^ (\ färg (Vit).) (Y ^ (2)) \, dA = (\ frac (E) (\ rho)) J_ (x ))

var J x = ∫ A. y 2 d A (\ displaystyle J_ (x) = \ int \ limits _ (A) ^ (\ färg (Vit).) (y ^ (2)) \, dA)- tröghetsmoment för sektionen kring axeln x (\ displaystil x).

Påfrestningarna i sektionen kan också föras till ögonblicket M y (\ displaystyle M_ (y))... För att förhindra att detta inträffar måste följande villkor vara uppfyllt:

M y = E ρ ∫ A. yxd A = E ρ J xy = 0 (\ displaystil M_ (y) = (\ frac (E) (\ rho)) \ int \ limits _ (A) ^ (\ färg (Vit).) (yx) \, dA = (\ frac (E) (\ rho)) J_ (xy) = 0)

det vill säga centrifugaltröghetsmomentet måste vara noll, och axeln y (\ displaystil y) bör vara en av sektionens huvudaxlar.

Således är krökningen av balkens böjda axel relaterad till böjmomentet med uttrycket:

1 ρ = M x E J x (\ displaystil (\ frac (1) (\ rho)) = (\ frac (M_ (x)) (EJ_ (x)))))

Spänningsfördelningen över sektionshöjden uttrycks med formeln:

σ = M x J x y (\ displaystil \ sigma = (\ frac (M_ (x)) (J_ (x))) y)

Den maximala spänningen i sektionen uttrycks med formeln:

σ max = M x J xh 2 = M x B x (\ displaystyle \ sigma _ (max) = (\ frac (M_ (x)) (J_ (x))) (\ frac (h) (2)) = (\ frac (M_ (x)) (W_ (x))))

var B x = J x h 2 (\ displaystil W_ (x) = (\ frac (J_ (x)) (\ frac (h) (2))))- sektionens motståndsmoment mot böjning, h (\ displaystil h)- höjden på balksektionen.

Mängderna J x (\ displaystil J_ (x)) och B x (\ displaystil W_ (x)) för enkla sektioner (runda, rektangulära) beräknas analytiskt. För cirkulär sektion med diameter d (\ displaystil d):

J x = π d 4 64 (\ displaystil J_ (x) = (\ frac (\ pi d ^ (4)) (64)))

W x = π d 3 32 (\ displaystil W_ (x) = (\ frac (\ pi d ^ (3)) (32)))

För en rektangulär sektion med en höjd h (\ displaystil h) och bredd b (\ displaystil b)

J x = b h 3 12 (\ displaystil J_ (x) = (\ frac (bh ^ (3)) (12)))

B x = b h 2 6 (\ displaystil W_ (x) = (\ frac (bh ^ (2)) (6)))

För mer komplexa sektioner (till exempel kanal, I-balk) med standardiserade dimensioner, anges dessa värden i referenslitteraturen.

Böjmomentet i en sektion kan erhållas med sektionsmetoden (om balken är statiskt definierbar) eller med kraft/förskjutningsmetoder.

Differentiella jämviktsekvationer. Definition av förskjutningar

De huvudsakliga förskjutningarna som uppstår vid böjning är avböjningar v (\ displaystyle v) i axelns riktning y (\ displaystil y)... Det är nödvändigt att relatera dem till böjningsmomentet i sektionen. Låt oss skriva ner det exakta förhållandet mellan avböjningarna och krökningen av den böjda axeln:

1 ρ = v ″ (1 + v ′ 2) 3 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (\ rho)) = (\ frac (v "") ((1 + v "^ (2)) ^ ( \ frac (3) (2)))))

Eftersom avböjningarna och vridningsvinklarna antas vara små är värdet

v ′ 2 = (tg (θ)) 2 ≈ θ 2 (\ displaystyle v "^ (2) = \ vänster (\ mathrm (tg) \, (\ theta) \ höger) ^ (2) \ approx \ theta ^ (2))

är liten. Därmed,

1 ρ ≈ v ″ (\ displaystil (\ frac (1) (\ rho)) \ approximativt v "")

Vi skriver jämviktsekvationen för sektionen i axelns riktning y (\ displaystil y):

Q y + qdz - Q y - d Q y = 0 ⇛ d Q dz = q (\ displaystil Q_ (y) + qdz-Q_ (y) -dQ_ (y) = 0 \ Högerpil (\ frac (dQ) (dz) )) = q)

Låt oss skriva ekvationen för jämvikt för moment runt axeln x (\ displaystil x):

M x + Q dz + qdzdz 2 - M x - d M x = 0 (\ displaystil M_ (x) + Q \, dz + q \, dz (\ frac (\, dz) (2)) - M_ (x ) - \, dM_ (x) = 0)

Magnituden q d z d z 2 (\ displaystil q \, dz (\ frac (\, dz) (2))) har 2:a ordningen av litenhet och kan kasseras. Därmed,

d M x d z = Q y (\ displaystil (\ frac (\, dM_ (x)) (\, dz)) = Q_ (y))

Det finns alltså 3 differentialekvationer. En ekvation för förskjutningar läggs till dem:

d v d z = t g θ ≈ θ (\ visningsstil (\ frac (\, dv) (\, dz)) = \ mathrm (tg) \, \ theta \ approximativt \ theta)

I vektormatrisform är systemet skrivet enligt följande:

d Z → dz + AZ → = b → (\ displaystil (\ frac (\, d (\ högerpil (Z))) (\, dz)) + A (\ högerpil (Z)) = (\ högerpil (b) )) A = (0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 1 EJ x (z) 0 0 0 0 - 1 0) (\ displaystil A = (\ börjar (Bmatrix) 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \ visningsstil (\ frac (1) (EJ_ (x) (z))) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \ end (Bmatrix)))

Systemtillståndsvektor:

Z → = (Q, M, θ, v) T (\ displaystil (\ högerpil (Z)) = (Q, M, \ theta, v) ^ (T))

Extern belastningsvektor:

b → = (q, 0, 0, 0) T (\ displaystil (\ högerpil (b)) = (q, 0,0,0) ^ (T))

Denna differentialekvation kan användas för att beräkna flerstödsbalkar med ett tröghetsmoment med variabel längd för sektionen och komplext fördelade laster. Förenklade metoder används för att beräkna enkla strålar. I materialresistans vid beräkning av statiskt definierbara balkar hittas böjmomentet med sektionsmetoden. Ekvationen

v ″ = M x E J x (\ displaystyle v "" = (\ frac (M_ (x)) (EJ_ (x))))

integrerar två gånger:

v ′ = θ (z) = ∫ M x (z) EJ xdz + C 1 (\ displaystyle v "= \ theta (z) = \ int (\ frac (M_ (x) (z)) (EJ_ (x) )) \, dz + C_ (1)) v (z) = ∫ (∫ M x (z) EJ xdz) dz + C 1 z + C 2 (\ displaystil v (z) = \ int \ vänster (\ int (\ frac (M_ (x) (z)) ) (EJ_ (x))) \, dz \ höger) \, dz + C_ (1) z + C_ (2))

Konstanter C 1 (\ displaystil C_ (1)), C 2 (\ displaystil C_ (2)) hittas från de randvillkor som ställs på balken. Så för den fribärande balken som visas i figuren:

M x (z) = - P (L - z) (\ displaystil M_ (x) (z) = - P (L-z)) θ (z) = - PL z EJ x + P z 2 2 EJ x + C 1 (\ displaystyle \ theta (z) = - PL (\ frac (z) (EJ_ (x))) + P (\ frac ( z ^ (2)) (2EJ_ (x))) + C_ (1)) v (z) = - PL z 2 2 EJ x + P z 3 6 EJ x + C 1 z + C 2 (\ displaystyle v (z) = - PL (\ frac (z ^ (2)) (2EJ_ (x) ))) + P (\ frac (z ^ (3)) (6EJ_ (x))) + C_ (1) z + C_ (2))

Gränsförhållanden:

θ (0) = 0 ⇛ C 1 = 0 (\ displaystyle \ theta (0) = 0 \ Högerpil C_ (1) = 0) v (0) = 0 ⇛ C 2 = 0 (\ displaystil v (0) = 0 \ Högerpil C_ (2) = 0)

På det här sättet,

θ (z) = - PL z EJ x + P z 2 2 EJ x (\ displaystyle \ theta (z) = - PL (\ frac (z) (EJ_ (x))) + P (\ frac (z ^ ( 2)) (2EJ_ (x)))) v (z) = - PL z 2 2 EJ x + P z 3 6 EJ x (\ displaystyle v (z) = - PL (\ frac (z ^ (2)) (2EJ_ (x))) + P (\ frac (z ^ (3)) (6EJ_ (x))))

Timosjenkos teori om strålböjning

Denna teori bygger på samma hypoteser som den klassiska, men Bernoullis hypotes är modifierad: det antas att sektioner som var plana före deformation och vinkelräta mot balkaxeln förblir plana, men upphör att vara vinkelräta mot den krökta axeln. Således tar denna teori hänsyn till skjuvdeformation och skjuvspänningar. Hänsyn till skjuvspänningar är mycket viktigt för utformningen av kompositer och trädelar, eftersom deras förstörelse kan uppstå på grund av att bindemedlet förstörs under skjuvning.

Huvudsakliga beroenden:

M = E J d θ d z (\ displaystil M = EJ (\ frac (\, d \ theta) (\, dz))) Q = G F α (θ - d v d z) (\ displaystil Q = (\ frac (GF) (\ alfa)) \ vänster (\ theta - (\ frac (\, dv) (\, dz)) \ höger))

var G (\ displaystil G)- skjuvmodul för balkmaterialet, F (\ displaystil F)- tvärsnittsarea, α (\ displaystyle \ alpha)- koefficient med hänsyn till den ojämna fördelningen av skjuvspänningar över sektionen och beroende på dess form. Magnituden

γ = θ - d v d z (\ displaystil \ gamma = \ theta - (\ frac (\, dv) (\, dz)))

representerar skjuvningsvinkeln.

Böjning av balkar på en elastisk grund

Denna designmodell simulerar järnvägsräls, såväl som fartyg (i den första approximationen).

En elastisk bas betraktas som ett flertal fjädrar som inte är förbundna med varandra.

Den enklaste beräkningsmetoden är baserad på Winklers hypotes: reaktionen hos ett elastiskt fundament är proportionell mot avböjningen vid en punkt och riktas mot den:

P = - k ⋅ v (\ displaystyle p = -k \ cdot v)

var v (\ displaystyle v)- avböjning;

P (\ displaystil p)- reaktion (per längdenhet av strålen);

K (\ displaystil k)- Proportionalitetskoefficient (kallad bäddförhållande).

I det här fallet anses basen vara tvåsidig, det vill säga reaktionen sker både när strålen pressas in i basen och när den dras av basen. Bernoullis hypotes består.

Differentialekvationen för böjning av en balk på ett elastiskt fundament har formen:

D 2 dz 2 (EJ x (z) d 2 vdz 2) + k (z) ⋅ v = q (z) (\ displaystil (\ frac (d ^ (2)) (dz ^ (2))) \ vänster (EJ_ (x) (z) (\ frac (d ^ (2) v) (dz ^ (2))) \ höger) + k (z) \ cdot v = q (z))

var v (z) (\ displaystyle v (z))- avböjning;

E J x (z) (\ displaystil EJ_ (x) (z))- böjstyvhet (som kan variera i längd);

K (z) (\ displaystil k (z))- bäddkoefficienten, variabel längs längden;

Q (z) (\ displaystil q (z))- fördelad belastning på balken.

Med konstant styvhet och bäddförhållande kan ekvationen skrivas som:

EJ xd 4 vdz 4 + k ⋅ v = q (z) (\ displaystyle EJ_ (x) (\ frac (d ^ (4) v) (dz ^ (4))) + k \ cdot v = q (z) )

D 4 vdz 4 + 4 m 4 ⋅ v = q (z) (\ displaystil (\ frac (d ^ (4) v) (dz ^ (4))) + 4m ^ (4) \ cdot v = q (z ))

där det anges

4 m 4 = k E J x (\ displaystil 4m ^ (4) = (\ frac (k) (EJ_ (x))))

Böjning av en stång med stor krökning

För balkar, krökningsradien för vars axel ρ 0 (\ displaystyle \ rho _ (0)) i proportion till sektionshöjden h (\ displaystil h), det är:

H ρ 0> 0,2 (\ displaystil (\ frac (h) (\ rho _ (0)))> 0,2)

fördelningen av spänningar längs höjden avviker från den linjära, och den neutrala linjen sammanfaller inte med sektionens axel (som passerar genom sektionens tyngdpunkt). En sådan designmodell används till exempel för design av kedjelänkar och krokar för kranar.

Fil: Schema för böjning av en balk med stor krökning.png

Tvärsnitt

Formeln för spänningsfördelning är:

σ = M F ⋅ e ⋅ y R + y (\ displaystyle \ sigma = (\ frac (M) (F \ cdot e)) \ cdot (\ frac (y) (R + y)))

var M (\ displaystil M)- böjmoment i sektionen;

R (\ displaystyle R)- radien för den neutrala sektionslinjen;

F (\ displaystil F)- tvärsnittsarea;

E = R 0 - R (\ displaystil e = R_ (0) -R)- excentricitet;

Y (\ displaystil y)- koordinat längs sektionens höjd, mätt från neutrallinjen.

Radien för den neutrala linjen bestäms av formeln:

R = ∫ d F u = ∫ R 1 R 2 b (u) duu (\ displaystyle R = \ int (\ frac (\, dF) (u)) = \ int \ limits _ (R_ (1)) ^ ( R_ (2)) (\ frac (b (u) \, du) (u)))

Integralen tas över tvärsnittsarean, koordinaten u (\ displaystyle u) mätt från krökningscentrum. De ungefärliga formlerna är också giltiga:

E = J x R 0 ⋅ F (\ displaystil e = (\ frac (J_ (x)) (R_ (0) \ cdot F)))

R 0 = R 0 - J x R 0 ⋅ F (\ displaystyle r_ (0) = R_ (0) - (\ frac (J_ (x)) (R_ (0) \ cdot F)))

Analytiska formler finns tillgängliga för ofta använda tvärsnitt. För en rektangulär sektion med en höjd h (\ displaystil h):

R = h ln R 0 + h 2 R 0 - h 2 = h ln R 2 R 1 (\ displaystyle R = (\ frac (h) (\ ln \ displaystyle (\ frac (R_ (0)) + (\ frac ( h) (2))) (R_ (0) - (\ frac (h) (2)))))) = (\ frac (h) (\ ln \ displaystyle (\ frac (R_ (2))) (R_ (ett))))))

var R 1, R 2 (\ displaystil R_ (1), R_ (2))är krökningsradien för strålens inre respektive yttre yta.

För en rund sektion:

R = R 0 + R 0 2 - r 2 2 (\ displaystyle R = (\ frac (R_ (0) + (\ sqrt (R_ (0) ^ (2) -r ^ (2)))) (2) ))

var r (\ displaystyle r)- sektionsradie.

Kontrollera strålens styrka

I de flesta fall bestäms styrkan hos en balk av de maximalt tillåtna spänningarna:

σ m a x< σ T n T {\displaystyle \sigma _{max}<{\frac {\sigma _{T}}{n_{T}}}}

var σ T (\ displaystyle \ sigma _ (T))- sträckgränsen för balkmaterialet, n T (\ displaystil n_ (T))- säkerhetsfaktorn för fluiditeten. I fallet med ömtåliga material:

σ m a x< σ b n b {\displaystyle \sigma _{max}<{\frac {\sigma _{b}}{n_{b}}}}

var σ b (\ displaystyle \ sigma _ (b))- balkmaterialets slutliga styrka, n b (\ displaystil n_ (b))- säkerhetsfaktor.

U = ∑ i = 1 4 C i K i (α z) (\ displaystil u = \ summa _ (i = 1) ^ (4) C_ (i) K_ (i) (\ alpha z))

där Krylov fungerar:

K 1 (α z) = 1 2 (ch ⁡ α z + cos ⁡ α z) (\ displaystil K_ (1) (\ alpha z) = (\ frac (1) (2)) (\ operatornamn (ch) \ alpha z + \ cos \ alpha z))

K 2 (α z) = 1 2 (sh ⁡ α z + sin ⁡ α z) (\ displaystil K_ (2) (\ alpha z) = (\ frac (1) (2)) (\ operatornamn (sh) \ alpha z + \ sin \ alpha z))

K 3 (α z) = 1 2 (ch ⁡ α z - cos ⁡ α z) (\ displaystyle K_ (3) (\ alpha z) = (\ frac (1) (2)) (\ operatornamn (ch) \ alfa z- \ cos \ alfa z))

K 4 (α z) = 1 2 (sh ⁡ α z - sin ⁡ α z) (\ displaystil K_ (4) (\ alpha z) = (\ frac (1) (2)) (\ operatornamn (sh) \ alpha z- \ sin \ alpha z))

a C i (\ displaystil C_ (i))- permanent.

Krylovs funktioner är länkade av beroenden:

D dz K 1 (α z) = α K 4 (α z) (\ displaystil (\ frac (d) (dz)) K_ (1) (\ alpha z) = \ alpha K_ (4) (\ alpha z) )

D dz K 2 (α z) = α K 1 (α z) (\ displaystil (\ frac (d) (dz)) K_ (2) (\ alpha z) = \ alpha K_ (1) (\ alpha z) )

D dz K 3 (α z) = α K 2 (α z) (\ displaystil (\ frac (d) (dz)) K_ (3) (\ alpha z) = \ alpha K_ (2) (\ alpha z) )

D dz K 4 (α z) = α K 3 (α z) (\ displaystil (\ frac (d) (dz)) K_ (4) (\ alpha z) = \ alpha K_ (3) (\ alpha z) )

Dessa begränsningar förenklar i hög grad skrivningen av gränsvillkor för balkar:

Ci = uz = 0; C2 = 1 a (d u d z) z = 0; C3 = 1 EJa2Mz = 0; C 4 = 1 EJ α 3 Q z = 0 (\ displaystil C_ (1) = u_ (z = 0); C_ (2) = (\ frac (1) (\ alfa)) \ vänster ((\ frac (du) ) (dz)) \ höger) _ (z = 0); C_ (3) = (\ frac (1) (EJ \ alfa ^ (2))) M_ (z = 0); C_ (4) = (\ frac (1) (EJ \ alfa ^ (3))) Q_ (z = 0))

I varje ände av balken anges två randvillkor.

Ekvationen för naturliga vibrationer har oändligt många lösningar. I detta fall, av praktiskt intresse, är som regel bara de första av dem, som motsvarar de lägsta naturliga frekvenserna.

Den allmänna formeln för egenfrekvensen är:

P k = λ k 2 EJ m 0 l 4 (\ displaystyle p_ (k) = \ lambda _ (k) ^ (2) (\ sqrt (\ frac (EJ) (m_ (0) l ^ (4))) ))

För enspansbalkar:

Förankring		λ k (\ displaystyle \ lambda _ (k))
Vänster ände	Höger ände
Tätning	Tätning	Xi = 4,73; (\ displaystyle \ lambda _ (1) = 4,73;)A2 = 7, 853; (\ displaystyle \ lambda _ (2) = 7,853;)
Fri	Fri	Xi = 0; (\ displaystyle \ lambda _ (1) = 0;)X2 = 0; (\ displaystyle \ lambda _ (2) = 0;) Ak = 2 k + 12 n; (\ displaystyle \ lambda _ (k) = (\ frac (2k + 1) (2)) \ pi;)
Tätning	Artikulerad	Xi = 3,927; (\ displaystyle \ lambda _ (1) = 3,927;)A2 = 7, 069; (\ displaystyle \ lambda _ (2) = 7 069;) Ak = 4k + 14 n; (\ displaystyle \ lambda _ (k) = (\ frac (4k + 1) (4)) \ pi;)
Artikulerad	Artikulerad	λ k = k 2 π 2 (\ displaystyle \ lambda _ (k) = k ^ (2) \ pi ^ (2))
Tätning	Fri	Xi = 1,875; (\ displaystyle \ lambda _ (1) = 1,875;)A2 = 4,694; (\ displaystyle \ lambda _ (2) = 4,694;) Ak = 2 k - 12 n; (\ displaystyle \ lambda _ (k) = (\ frac (2k-1) (2)) \ pi;)